Olasılık ve Rastgelelik: Matematiksel Temeller

Olasılık nedir?

Olasılık nedir sorusunun matematikteki cevabı: bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında (ya da %0 ile %100 arasında) bir sayıyla ifade etmektir. 0 olayın imkânsız, 1 ise kesin olduğunu gösterir. Rastgeleliğin genel tanımı için Rastgelelik Nedir? yazısına bakabilirsiniz; bu yazı işin matematik tarafını anlatıyor.

Bir deneyin bütün olası sonuçlarının kümesine örnek uzay, bu sonuçlardan bir kısmına olay denir. Bütün sonuçlar eşit şanslıysa olasılık şöyle hesaplanır:

P(A) = A olayına uygun sonuç sayısı / tüm sonuçların sayısı

Olasılık nedir? Örneklerle

• Yazı-tura: Örnek uzay {yazı, tura}. P(yazı) = 1/2.
• Zar: Örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Çift sayı gelmesi olayı {2, 4, 6} olduğu için P(çift) = 3/6 = 1/2.
• İki zar: 36 eşit şanslı sonuç vardır. Toplamın 7 olduğu 6 sonuç bulunduğu için P(toplam 7) = 6/36 = 1/6; toplam 2 ise yalnızca (1, 1) ile gelir, olasılığı 1/36'dır.
• Tümleyen kuralı: Bir olayın olmama olasılığı P(A') = 1 − P(A)'dır. Dört zar atışında en az bir kez 6 gelme olasılığı, hiç 6 gelmeme olasılığının 1'den çıkarılmasıyla bulunur: 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518.

Bu hesapları kendiniz denemek isterseniz zar üreteciyle çok sayıda atış yapıp sonuçları sayabilirsiniz.

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken, bir deneyin her sonucuna bir sayı karşılık getiren kuraldır. Adı "değişken" olsa da aslında bir fonksiyondur: "10 kez yazı-tura at, kaç yazı geldiğini say" dediğinizde, her olası atış dizisine 0 ile 10 arasında bir sayı atanır. Rastgele değişkenler genellikle büyük harfle (X, Y) gösterilir.

Kesikli rastgele değişken

Sayılabilir değerler alır: zardaki sayı (1–6), yazı sayısı (0–10), bir sayfadaki yazım hatası sayısı. Her değerin olasılığı ayrı ayrı yazılabilir ve bu olasılıkların toplamı 1'dir.

Sürekli rastgele değişken nedir?

Bir aralıktaki her değeri alabilir: boy uzunluğu, otobüs bekleme süresi, 0 ile 1 arasında seçilen rastgele bir ondalık sayı. Burada sonsuz sayıda değer olduğu için tek bir değerin, örneğin tam 1,7500000… metrenin olasılığı 0 kabul edilir. Olasılıklar aralıklar için hesaplanır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilen eğrinin altında kalan alanla bulunur.

Olasılık dağılımları: Düzgün, binom ve normal

Bir rastgele değişkenin hangi değeri hangi olasılıkla aldığını gösteren tabloya ya da formüle dağılım denir. En sık karşılaşılan üçü şunlardır.

Düzgün dağılım

Her değerin olasılığı eşittir. Adil bir zar kesikli düzgün dağılıma uyar: her yüz 1/6. Sürekli hâli de vardır: 0 ile 1 arasında düzgün seçilen bir sayının 0,2 ile 0,5 arasında olma olasılığı, aralığın uzunluğu kadardır, yani 0,3. İyi bir şifre üreticisi de her karakteri havuzdan düzgün dağılımla seçer; bazı karakterlerin daha sık gelmesi saldırganın işini kolaylaştırır. Bunun bilgisayarda nasıl sağlandığını Bilgisayarlar Rastgele Sayıyı Nasıl Üretir? yazısında anlatıyoruz.

Binom dağılımı

Başarı olasılığı p olan bir deneyi n kez bağımsız olarak tekrarladığınızda başarı sayısını verir. Formülü:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

Burada C(n, k), n denemeden k tanesini seçmenin yol sayısıdır. 10 atışta yazı sayısı için (n = 10, p = 0,5):

En olası sonuç "5 yazı" olsa da olasılığı yalnızca yaklaşık %25'tir; dört denemeden üçünde tam yarı yarıya sonuç çıkmaz. Yazı-turanın gerçekten %50 olup olmadığını ayrı bir yazıda ele alıyoruz.

Normal dağılım

Çan eğrisi olarak bilinen sürekli dağılımdır; ortalama (μ) ve standart sapma (σ) ile tanımlanır. Değerlerin yaklaşık %68,3'ü ortalamanın 1 standart sapma, %95,4'ü 2, %99,7'si 3 standart sapma yakınındadır. Birçok küçük ve bağımsız etkinin toplamı normal dağılıma yaklaşır; bu yüzden ölçüm hataları ve pek çok biyolojik ölçü yaklaşık olarak normal dağılımla modellenir. Tek zar düzgün dağılıma uyarken, çok sayıda zarın toplamı da bu eğriye benzemeye başlar.

Beklenen değer ve varyans

Bir dağılımı iki sayıyla özetlemek mümkündür: merkezi (beklenen değer) ve yayılımı (varyans).

Beklenen değer: E[X] = x₁·p₁ + x₂·p₂ + … + x_n·p_n

Varyans: Var(X) = E[X²] − (E[X])², standart sapma: σ = √Var(X)

Adil bir zar için adım adım:

• E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3,5
• E[X²] = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 = 91/6 ≈ 15,17
• Var(X) = 91/6 − (7/2)² = 91/6 − 49/4 = 35/12 ≈ 2,92, σ ≈ 1,71

Zarda hiçbir zaman 3,5 gelmez; beklenen değer tek bir atışın sonucu değil, çok sayıda atışın ortalamasıdır. Binom dağılımında formüller kısalır: E[X] = n·p ve Var(X) = n·p·(1 − p). 10 yazı-tura atışında bu, ortalama 5 yazı ve 2,5 varyans demektir.

Loto örneği

Çılgın Sayısal Loto'da 90 sayıdan 6'sı seçilir. Farklı kolon sayısı C(90, 6) = 622.614.630'dur; tek bir kolonla altısını tutturma olasılığı bu sayıda 1'dir. Bir kolonda ortalama kaç sayı tutar? Her seçtiğiniz sayının çekilme olasılığı 6/90 olduğundan beklenen değer 6 × 6/90 = 0,4'tür. Sayıları kendiniz ya da sayı üreteciyle seçmeniz bu olasılıkları değiştirmez. Şans oyunları 18 yaşından büyükler içindir; bu hesaplar bir kazanç yöntemi değildir.

Büyük sayılar yasası

Büyük sayılar yasası, aynı deney bağımsız olarak çok kez tekrarlandığında sonuçların ortalamasının beklenen değere yaklaştığını söyler. Tek tek sonuçlar öngörülemezken toplu davranışın öngörülebilir olmasının matematiksel nedeni budur.

Python'un random modülüyle (sabit tohum 2026) yaptığımız bir yazı-tura denemesinde yazı oranı şöyle değişti:

Yasa oranın %50'ye yaklaşacağını söyler; kısa vadede "açığın kapanacağını" söylemez. Art arda 5 tura geldiyse sıradaki atışta yazı gelme olasılığı yine 1/2'dir. Bunun tersini düşünmek kumarbaz yanılgısıdır.

Entropi: Olasılıktan şifre gücüne

Bilgi kuramında entropi, bir sonucun ne kadar belirsiz olduğunu bit cinsinden ölçer. N eşit olasılıklı sonuç için entropi log₂(N)'dir: yazı-tura 1 bit, zar log₂(6) ≈ 2,58 bittir. Her ek bit, olası sonuç sayısını ikiye katlar.

Rastgele üretilmiş bir şifrede her karakter havuzdan düzgün ve bağımsız seçildiği için entropi H = uzunluk × log₂(havuz büyüklüğü) olur:

Bu formül yalnızca gerçekten rastgele seçilmiş şifreler için geçerlidir. "Galatasaray1905" 15 karakterlidir ama saldırgan onu harf harf değil, takım adı ve kuruluş yılı olarak tahmin eder; gerçek entropisi tablodakinin çok altındadır. Uzunluğun gücü nasıl değiştirdiğini Şifre Kaç Karakter Olmalı? yazısında kırılma süreleriyle karşılaştırdık.

Formüldeki olasılıkların şifrenizde de geçerli olması için şifreyi kendiniz uydurmak yerine rastgele üretin. Ana sayfadaki şifre üretici, tarayıcının kriptografik rastgele sayı kaynağıyla her karakteri düzgün dağılımla seçer.